Hegel y las matemáticas (o de la apología de la filosofía)

Pretendemos hacer aquí un breve acercamiento a la crítica que hace Hegel a la ciencia matemática a lo largo de su obra filosófica. Para esto dividimos el trabajo en dos secciones en las cuales se analizará, por un lado, que la concepción que tienen las matemáticas del infinito es la de un mal infinito y, por otro lado, que las matemáticas no tratan acerca de lo verdaderamente real, sino que su objeto de estudio es el espacio carente de vida, es decir, el espacio sin tiempo. Frente a esto veremos cómo Hegel va realizando una apología de la filosofía como la ciencia que versa acerca del espacio inquieto y vital, del tiempo y del verdadero infinito, es decir, de lo absoluto, pues la filosofía no ha sido más que un intento por acceder a lo absoluto mismo. Así, la filosofía se consolida en Hegel como el saber primero en una clara influencia aristotélica.

“Yo acumulo números inmensos,

montañas de millones,

pongo tiempo sobre tiempo y mundo sobre mundo en montones,

y cuando desde la espantosa altura

con el vértigo vuelvo a mirar hacia a ti,

todo poderío del número, aumentado miles de veces,

todavía no es ni una parte tuya.

Yo lo aparto, y tú estás todo ante mí.”

Haller.ⁱ

Es por demás interesante analizar las críticas que Hegel hace a las ciencias modernas que comenzaban a cobrar fuerza en su época. Así vemos que Hegel no desdeña para nada los descubrimientos y los avances que hasta su momento se habían hecho en campos del conocimiento humano tales como la física, la química, la biología, la psicología, etc.; es decir, Hegel tuvo especial interés tanto en las llamadas ciencias de la naturaleza como en las ciencias del espíritu y siempre intentó mantenerse informado al respecto. Desde esta perspectiva podríamos decir que, entre otras cosas, la filosofía de Hegel es una filosofía de la ciencia. Pero su interés particular era contrastar a la filosofía misma en su modo de proceder frente al resto de las ciencias; en una influencia aristotélica, no dudamos que Hegel concebía a la filosofía como la ciencia de las ciencias: el saber primero. Por tanto, podríamos decir también que toda su filosofía no es más que una apología de la filosofía misma.

En el presente escrito pretendemos acercarnos a la crítica que Hegel hace de las matemáticas para ir viendo cómo a su vez va defendiendo a la filosofía colocándola como el más alto saber. Para esto, me enfocaré en lo que considero que son los dos puntos centrales de ataque a las matemáticas por parte del filósofo alemán: 1) que las matemáticas no tienen una correcta concepción del verdadero infinito, es decir, del absoluto, y 2) que las matemáticas no tratan sobre el tiempo y sobre la vida, es decir, su objeto de estudio no es lo verdaderamente real, sino que es un objeto inerte.

Las vacaciones de Hegel, Magritte

1. Las matemáticas y el infinito (o absoluto).

Me parece que toda crítica que lanza Hegel hacia las ciencias modernas parte de la manera en que éstas consideran dentro de su estudio al infinito. Hemos de recordar que, según nos indica Hegel en su Ciencia de la Lógica, el infinito no es más que otro modo de nombrar al absoluto, el cual es objeto de la filosofía en tanto la filosofía no es más que un intento de acceder a él: “El infinito en su simple concepto puede ante todo ser considerado como una nueva definición de lo absoluto.”ⁱⁱ Por esto mismo, creo que el punto central de la crítica hegeliana a las matemáticas está en la consideración que tienen éstas del infinito, por lo que comenzaré mi análisis desde esta problemática y para ello recurriré en primer lugar a la ya citada Lógica.

Hay que señalar que Hegel hace una distinción entre dos tipos de infinitos: el mal infinito y el buen infinito. El primero consiste en una serie infinita de momentos finitos: “Algo deviene otro, pero lo otro es también un algo y deviene por consiguiente otro, y así sucesivamente hacia lo infinito.”ⁱⁱⁱ El segundo consiste en poner-se como un finito, es decir, como su otro (negación de sí), para reflejarse en ese otro y desde ese otro volver a sí (negación de la negación): “Esta identidad consigo, que es la negación de la negación, es un ser afirmativo, y de este modo es lo otro del finito.”^iv Es decir, en este caso del verdadero infinito, lo finito no es más que la necesaria manifestación exterior de un infinito interior, tal manifestación que es puesta, superada y asumida. El infinito malo se expresa sólo en la exterioridad, mientras que el buen infinito se expresa interiormente: el mal infinito es extensivo, el buen infinito es intensivo.

A partir de lo anterior, analicemos en cuál de los dos infinitos se insertan las matemáticas. No tenemos duda de que el número es el instrumento del cual se vale la ciencia en cuestión. Para Hegel, el único número determinado es el uno; el resto de los números son indeterminados y van siendo deducidos a partir de las ya conocidas operaciones aritméticas, las dos principales son la suma y la resta. Así, la suma no es más que un reunir y contar unidades, mientras que la resta es el proceso contrario y negativo a la suma. Por ejemplo: el 7 es tan sólo el resultado de la reunión de siete unidades, y el 12 es deducido de la reunión de 7 unidades con otras 5 unidades. Dice Hegel que “los números en general pueden ser producidos de dos maneras, por vía de composición o por vía de separación de [números] ya compuestos.”^v Por vía de composición tenemos operaciones como la suma, la multiplicación y la potenciación; por vía de separación tenemos operaciones como la resta, la división y la raíz cuadrada. El objetivo de estas operaciones aritméticas es mostrar qué es un cierto número (un 4, un 5, un 6), pero este mostrar sólo es posible de manera externa a los números, pues no hay dentro de ellos un movimiento interior que vaya de uno al otro: “La aritmética considera el número y las figuras de éste, o más bien [a éstas] no las considera, sino que opera en ellas. Pues el número es la determinación indiferente, inerte; tiene que ser convertido en activo y puesto en relación desde fuera. Las maneras de relación son las operaciones aritméticas.”^vi No hay conexión interior entre los números en las operaciones aritméticas, sino que la conexión viene dada exteriormente: frente a sí, cada número es indiferente. “Esta indiferencia del número frente a otros es una determinación esencial de él; y constituye su ser-determinado en sí, pero a la vez su propia exterioridad.”^vii Esta exterioridad e inconexión interior de los números se muestra por el hecho de que la conexión entre ellos viene dada sólo exteriormente: las operaciones aritméticas son posibles si se llevan a cabo con ayuda de “una imagen sensible, y la operación, por cuyo medio se engendra el número, es un computar sobre los dedos, los puntos, etc.”^viii Es claro con esto que las matemáticas son expresión de un mal infinito: un infinito exterior, extensivo.

Ahora bien, tomemos en cuenta que en alguna parte de su Lógica Hegel reconoce que hay un infinito matemático que se acerca a la concepción del verdadero infinito: este es el infinito que se expresa en los famosos números quebrados o racionales. Dice Hegel que “en el sentido filosófico el infinito matemático es importante porque de hecho está en su fondo el concepto del verdadero infinito.”^ix Veamos cómo sucede esto a partir de los números quebrados remitiéndonos al propio ejemplo de Hegel. Tomemos el quebrado 2/7 que, aunque no es un número entero, es un número finito como todos, pero su peculiaridad es que no es un número inmediato, sino que está mediado por dos números: el 2 y el 7, que se presentan tan sólo como momentos del quebrado que están en relación. Aquí, estos números “no valen en seguida como 2 y 7, sino según su determinación recíproca. Por esto en lugar de ellos puede igualmente ponerse 4 y 14, ó bien 6 y 21, etc., al infinito.”^x Es decir, 2/7 puede ser expresado también como 4/14 ó como 6/21: todos estos números expresan lo mismo. Como quebrados, estos números (2 y 7, 4 y 14, 6 y 21, etc.) ya no son vistos como meras cantidades, sino que también son concebidos ahora cualitativamente, esto es, en relación unos con otros:

Ellos tienen, por ende, según este aspecto, el momento de la infinitud en ellos, en tanto no sólo ya no son precisamente ellos mismos, sino que permanece su determinación cuantitativa, pero como una determinación cualitativa que existe en sí, vale decir, por lo que ellos valen en la relación. En su lugar pueden ponerse infinitamente muchos otros, de modo que el valor del quebrado, debido a la determinación que tiene la relación, no cambia.^xi

Dicho de otra manera, los números quebrados o racionales son idénticos interiormente aún siendo diferentes exteriormente, más aún, se ve allí que la exterioridad del número no es más que la manifestación de un interior que le da lo mismo manifestarse como ¼ ó como 2/8: la exterioridad está aquí negada. “El cuanto infinito contiene más bien, en él mismo, en primer lugar la exterioridad, y en segundo lugar la negación de ella. De este modo ya no es un cierto cuanto finito […] sino que es simple y por eso existe sólo como momento; es una determinación de magnitud en forma cualitativa; su infinitud consiste en existir como una determinación cualitativa.”^xii Infinito hacia adentro, no hacia afuera; infinito intensivo y cualitativo, no extensivo y cuantitativo. Aún así, y aún cuando el infinito matemático expresa de mejor manera al verdadero infinito que la metafísica clásica (pues el infinito de la metafísica clásica es un infinito separado de lo real, o sea, Dios; mientras que el infinito matemático, como se ha visto en los quebrados, es un infinito presente en sus manifestaciones finitas aunque nunca agotado en ellas) las matemáticas no terminan de concebir correctamente al verdadero infinito: “Pero la expresión que la infinitud tiene en un número quebrado, es todavía imperfecta, porque los dos miembros del quebrado, 2 y 7, pueden ser sacados de la relación, y son cuantos ordinarios indiferentes; la relación entre ellos [que consiste en] el estar en relación y ser momentos, es para ellos algo exterior e indiferente.”^xiii La relación que hay entre el 2 y el 7 para formar el quebrado 2/7 y la relación que hay entre este número quebrado con otros como 4/14 es una relación que viene dada exteriormente, es decir, no hay en ellos un impulso interior que los lleve necesariamente a moverse del uno al otro: no hay en ellos vitalidad. Los quebrados o racionales, en tanto números a final de cuentas, siguen quedándose en una determinación exterior y superficial, inerte.

2. Las matemáticas y la vida-tiempo.

Dado lo anterior, tenemos que el pensamiento matemático se queda aún en la exterioridad sensible (aún cuando el número sea ya una abstracción y no una cosa sensible como tal). La ciencia matemática no logra pues penetrar en el interior de las cosas mismas, no accede ella al absoluto. Para Hegel, Platón no estaba tan errado cuando colocaba a los números entre las cosas sensibles y las Ideas: los números se quedan a un paso entre la exterioridad sensible y el pensamiento que penetra en el interior de las cosas. Por lo mismo, el pensamiento matemático es un pensamiento aún exterior: “se encuentra el pensar aquí en una actividad que es a la vez la exteriorización extrema de él mismo, esto es, en la actividad violenta del moverse en la carencia de pensamiento.”^xiv En efecto, puesto que el objeto de las matemáticas es la exterioridad inerte del número, el pensamiento de esta exterioridad inerte se vuelve en un pensamiento exterior e inerte: “aquella ocupación se vuelve carente de pensamiento y mecánica.”^xv Pero el verdadero pensamiento, el pensamiento que es en-sí y para-sí, lleno de sí mismo, tiene que ser un pensamiento dinámico y vital en tanto su objeto es el movimiento y la vida misma: este es el pensamiento filosófico.

Según afirma Hegel en el Prólogo a su Fenomenología del Espíritu, el objeto de la filosofía es el todo real, es decir, el absoluto. Pero este absoluto, que es el infinito verdadero según veíamos lo que dice en la Lógica, no es concebido por Hegel como un absoluto separado de todo cuanto es, sino que es un absoluto que se manifiesta en la realidad misma: recordemos que el verdadero infinito es tal en virtud de su manifestación en lo finito y la vuelta a sí desde esa manifestación. De allí que Jean-Luc Nancy diga que para Hegel lo único que hay es “la actualidad plena y entera de lo infinito que atraviesa y que trabaja y que transforma lo finito.”^xvi Y es esta manifestación de lo infinito –o absoluto- en lo finito lo que Hegel ha llamado vida y por esto agrega Nancy: “Que la cosa se dé es una <>. No la vida orgánica, ni alguna animación en general. La vitalidad es el carácter de llevarse fuera de sí. La cosa se da, se lleva fuera de sí, se manifiesta.”^xvii

Ahora bien, dado lo anterior, Hegel critica a la matemática ya que ésta no da cuenta verdaderamente de lo real. La matemática es una ciencia pobre que poco tiene que ver con la realidad viviente: “La evidencia de este defectuoso conocimiento de que tanto se enorgullece la matemática y del que se jacta también en contra de la filosofía, se basa exclusivamente en la pobreza de su fin y en el carácter defectuoso de su materia, siendo por tanto de un tipo que la filosofía debe desdeñar.”^xviii A diferencia de la filosofía que penetra en la realidad misma intentando acceder al absoluto –a lo verdaderamente real-, las matemáticas se quedan en la exterioridad y en ellas “el movimiento del saber opera en la superficie, no afecta a la cosa misma, no afecta a la esencia o al concepto y no es, por ello mismo, un concebir.”^xix Un pensamiento que no penetre en el interior vital de la cosa misma hasta concebirla -es decir, hasta llegar a su concepto- es un pensamiento inerte.

Para entender más el problema es necesario señalar que según Hegel el espacio es materia y objeto de la matemática, pero “el espacio es el ser allí en lo que el concepto inscribe sus diferencias como en un elemento vacío y muerto y en el que dichas diferencias son, por tanto, igualmente inmóviles e inertes.”^xx Como se ve, para Hegel este espacio matemático es diferente del espacio físico que él trata en su “Filosofía de la naturaleza”^xxi: el espacio físico tiene que ver con el tiempo porque éste es la verdad de aquel. Pero la matemática no versa sobre el tiempo y por lo mismo no versa sobre lo concretamente real: “Lo real no es algo espacial, a la manera como lo considera la matemática; ni la intuición sensible concreta ni la filosofía se ocupan de esa irrealidad propia de las cosas matemáticas.”^xxii Así, el objeto de estudio de la matemática resulta ser un objeto inerte y muerto que “no logra llegar a la diferenciación de la esencia ni a la contraposición esencial o desigualdad; no llega, por tanto, al tránsito de uno de los términos contrapuestos al otro, a lo cualitativo, a lo inmanente, al automovimiento.”^xxiii

Pero la realidad concreta se manifiesta como pura inquietud, esto es, como pura vida, lo que se le escapa a la ciencia matemática. Como hemos dicho, las matemáticas no logran expresar el verdadero infinito, aquel en cuyo proceso vital viene a manifestarse desde el interior hacia el exterior: este proceso del verdadero infinito de venir de sí hacia afuera para regresar a sí desde su propia manifestación es ya tiempo. Y es evidente para Hegel que las matemáticas no versan sobre el tiempo:

La matemática inmanente, la llamada matemática pura, no establece tampoco el tiempo como tiempo frente al espacio, como el segundo tema de su consideración. […] El principio de la magnitud, de la diferencia conceptual, y el principio de la igualdad, de la unidad abstracta e inerte, no pueden ocuparse de aquella pura inquietud de la vida y de la absoluta diferenciación.^xxiv

Así, Hegel denuncia años después que “frente a la ciencia del espacio, la geometría, no hay una ciencia semejante del tiempo.”^xxv Si la ciencia del espacio es una ciencia del entendimiento (razón finita o Verstand en alemán), la ciencia del tiempo tendría que ser una ciencia de la razón infinita (Vernunft). Hegel afirma que dicha ciencia del tiempo es la filosofía misma por lo que el objeto de la filosofía es el tiempo.

• Conclusiones:

Por una parte vimos que para Hegel las matemáticas, consideradas desde el instrumento del que se valen que es el número, no logran tener un buen concepto del verdadero infinito: el infinito matemático es un infinito malo. Por otra parte vimos que su objeto de estudio es el espacio matemático, algo inerte y fijo, la pura presencia sin vida. Pero el espacio físico del cual trata la filosofía es un espacio vital que tiene su verdad en el tiempo. La filosofía, a diferencia de las matemáticas, no puede considerar a lo real como algo meramente espacial, como mera presencia inerte, sino que lo debe considerar como espacio lleno de vida, esto es, como tiempo y como inquietud. Considerar la realidad en términos meramente espaciales es considerarla en términos del mal infinito: como pura exterioridad, como infinitud extensiva. Considerar la realidad como tiempo es considerarla en términos del buen infinito: como un proceso de interiorización, una infinitud intensiva. La realidad no es una presencia fija, sino un proceso vital de devenir.

El matemático no penetra lo verdaderamente real, su pensamiento es un pensamiento mecánico y exterior a las cosas. El filósofo, según Hegel, debe penetrar la realidad, debe dejarse llevar por el devenir de lo absoluto y pensar en el incesante movimiento de la vida y el tiempo. De hecho Hegel afirma que la misma matemática es una ciencia que presupone a la filosofía y toma de ella ciertos conceptos como: infinito, factores, potencia, etc.

Bibliografía

Hegel, George Wilhelm Friedrich, Fenomenología del espíritu, [trad. de Wenceslao Roces y Ricardo Guerra], FCE, México, 1966.

—————————————–, Ciencia de la lógica, [trad. de Rodolfo Mondolfo], 2ª ed., Solar, Buenos Aires, 1968.

—————————————, Enciclopedia de las ciencias filosóficas, [trad. de Ramón Valls P lana], Alianza, Madrid, 1999.

Nancy, Jean-Luc, Hegel. La inquietud de lo negativo, [trad. de Juan Manuel Garrido], Arena,Madrid, 2005.

Notas