Foto en La Parroquia de Orizaba de los participantes en el simposio de la Sociedad de Metafísica y Filosofía de la Ciencia, 2014. A la derecha Carlos César Jiménez, a su izquierda Sergio Gallegos, Alejandro Vázquez del Mercado, Axel Barceló, José Antonio Pardo, Adolfo García de la Sienra y Liliana Almeida.

 

Resumen

En este texto se esboza una reconstrucción fragmentaria de las aportaciones filosóficas y personales de Carlos César Jiménez, destacando su legado en la filosofía de las matemáticas. A través de anécdotas y reflexiones sobre su trabajo se exploran las conexiones entre las matemáticas, el lenguaje y la corporalidad, resaltando cómo su visión filosófica trascendía lo académico para integrarse en su manera de vivir.

Palabras clave: filosofía, matemáticas, cognición, lenguaje, yoga, computación

Abstract

This text presentes an outline of the philosophical and personal contributions of Carlos César Jiménez, highlighting his legacy in the philosophy of mathematics. Through anecdotes and reflections on his work, it explores the connections between mathematics, language, and embodiment, emphasizing how his philosophical vision transcended the academic realm to become integrated into his way of living.

Keywords: philosophy, mathematics, cognition, language, yoga, computation

 

No obstante, reconocemos que la inquietud por el fundamento cala hondo en el ser humano; aunque nos hayamos hecho a la mar o construyamos esculturas ciné- ticas flexibles y estaciones espaciales, seguimos buscando refugio, arraigo, puntos torales —aunque sean cambiantes— para desde ahí, o a partir de ahí, explayarnos, expandirnos, proyectarnos.

-C. C. J.

Conocí a Carlos César Jiménez en 2014, durante un simposio de dos días sobre metafísica de la ciencia en Orizaba. Era uno de esos eventos pequeños, donde se discuten temas especializados y en los que la mayor parte del público está compuesta por los mismos ponentes. La sede no era un instituto ni una universidad, sino un espacio alquilado en el piso de arriba de una cafetería. Dada la ubicación poco céntrica, cuando Carlos se presentó, me sorprendió que alguien hubiera viajado desde Querétaro — donde vivía entonces — para asistir al evento.

Durante los siguientes dos días, se convirtió en una parte integral de las conferencias. Añadió comentarios útiles y preguntas agudas, sin importar si eran de investigadores reconocidos o de estudiantes de posgrado (como yo). Todos los temas parecían interesarle: el lenguaje, las matemáticas, la epistemología de las imágenes. Mientras que para nosotros el coloquio era un evento de trabajo, aunque interesante y agradable por la compañía, él parecía existir en otro mundo donde el entusiasmo por aumentar el conocimiento y adentrarse en las realidades maravillosas del pensamiento constituía el principal motor. Me recordaba un proverbio zen: “Cuando haces algo, debes quemarte completamente, como una buena hoguera, sin dejar rastros de ti mismo.”

Eventualmente, nos convertimos en compañeros en el posgrado en Filosofía de la Ciencia de la UNAM. Interactuamos poco, ya que su especialidad era la lógica y la filosofía de las matemáticas, mientras que mis áreas de trabajo correspondían a la epistemología y a las ciencias cognitivas. Sin embargo, las pocas interacciones que compartimos a lo largo de los años bastaron para dejarme una imagen duradera de sus preocupaciones intelectuales.

Una sugerencia común que se hace a los estudiantes al ingresar al doctorado es escoger un tema suficientemente amplio para justificar una investigación extensa, pero al mismo tiempo buscar hacer una contribución muy específica y delimitada dentro de ese tema. Sé de oídas que su gran ambición intelectual no le facilitó el avance de su proyecto doctoral, a pesar de los esfuerzos continuos de su tutor, Cristian Gutiérrez, para que acotara más los alcances de su investigación, lo cual hizo poco a poco hasta acotarla: ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos.

Debido a la muerte prematura de Carlos César hace dos años, que tanta tristeza nos provocó a sus colegas y amigos, esta investigación quedará inconclusa. Sin embargo, sus avances y notas dejan algunas ideas fascinantes que vale la pena retomar.

El primer capítulo del manuscrito de su tesis doctoral comienza narrando un cuento de Michael Ende, Der Spiegel im Spiegel, donde los personajes se pierden en un juego de espejos:

“Una mujer que viaja en un carruaje se topa con una lenta y variopinta caravana. Niños y viejos, hombres y mujeres, todos vestidos con extravagantes trajes de saltimbanquis y usando fantásticos sombreros han partido de las Montañas del Cielo y escriben sobre la Tierra una palabra con su andar: La palabra perdida; aquella palabra, mediante la cual, todo se relaciona con todo y cuya ausencia se manifiesta en la progresiva fragmentación del mundo”[1].

El cuento es un preámbulo para presentarnos su visión de las matemáticas:

“Hay en los reinos de la matemática análogos deambulares, palabras perdidas y encontradas, páramos de espejos, pantanos de estructuras, bosques infinitos de sutiles materialidades y vacuidades insondables, rastros de cuerpos y mentes peregrinos debatientes, trazos de una elusiva estructura lingüística que se pretende arquetípica y medular: pauta que guía y emerge del mismo hacer; coreografía y danza, ejecución musical y partitura, ¿cuál determina a cuál?

Construida o descubierta, pre-lingüística, lingüística o post-lingüística, la arquitectura de los universos o multi-versos precedentes es la arquitectura de nuestro mundo, de nuestro espacio habitado, de nuestro ser-en-el-mundo, explicitado poéticamente. Los tras-mundos literarios o matemáticos no son tales; o más bien, son mundos engendrados a partir de un mismo aquí y un mismo ahora.“[2]

Atuendos nuevos es una investigación en filosofía de las matemáticas que parte de las múltiples conexiones de tres universos: la lógica, la computación y la teoría de las categorías, a partir de una serie de correspondencias entre los tres ámbitos que reciben el nombre de Curry-Howard-Lambek.

El descubrimiento de correspondencias sorprendentes es una de las cosas más valoradas en el conocimiento matemático. Vale la pena hacer un breve paréntesis. Existe un juego (no muy popular) llamado Scrabble numérico, que consiste en lo siguiente: dos jugadores se turnan para decir un número entre 1 y 9 (sin repetir); gana el primero que haya dicho tres números que sumen 15. Aunque puede parecer sorprendente a primera vista, el Scrabble numérico es exactamente igual al juego de gato — o al menos equivalente en un sentido que es importante en las matemáticas.

¿Cómo puede ser “igual“ un juego aritmético que busca sumar 15 a otro que busca trazar una línea recta en un plano cuadriculado? Esto es así porque ambos juegos son isomórficos: a cada elemento, relación y operación de uno le corresponde un elemento, relación y operación del otro. Probar esta correspondencia es trivial y quizá pueda ser más curioso que iluminador, pero en otras ocasiones probar este tipo de correspondencias es el equivalente matemático de subir la montaña más alta y poder vislumbrar por primera vez el paisaje que uno solo ha podido conocer a ras de tierra; o, dicho en palabras de Carlos César:

“Una de las maneras que tenemos para elucidar la complejidad de lo desconocido es relacionarlo con complejidades conocidas. Trazar nexos entre dos o más sistemas es un reto y a la vez un descubrimiento afortunado si la manera en que hacemos el mapeo entre ellos, lejos de ser arbitrario, obedece a una arquitectónica sutil, quizá más “profunda”, más “amplia” o “fundamental”.[3]

(El lector no-matemático interesado en estos temas encontrará muchas cosas apasionantes en los respectivos libros de divulgación de Edward Frenkel[4], Douglas Hofstadter[5] y Eugenia Cheng[6]).

En las correspondencias Curry–Howard–Lambek, la teoría homotópica de tipos ayuda a construir los puentes entre estas tres islas distintas, y esto es posible gracias a que ella misma es sui generis. La teoría de tipos clasifica objetos y los organiza en jerarquías que definen las operaciones que están permitidas según el lugar que ocupan, lo cual es de suma importancia para la lógica y la computación. La teoría de la homotopía es una rama de la topología algebraica, que estudia de qué modo una parte de un espacio se deforma para “encajar” con otra. La teoría homotópica de tipos es una manera de pensar los tipos lógicos como espacios y las pruebas como caminos que se transitan dentro de ellos.

Esto se encuentra en el corazón de la filosofía de las matemáticas que Carlos César practicaba en la tradición de F. William Lawvere.[7] Los proyectos clásicos de fundamentación buscaban encontrar los cimientos sobre los cuales descansa el edificio matemático. Para ello, buscaban en primer lugar una manera de unificar los objetos, es decir, la ontología, por medio de alguna teoría o lenguaje (como la teoría de conjuntos).

Esta es la parte que tuvo éxito en proyectos como el Principia Mathematica de Russell y Whitehead. Posteriormente, habría que mostrar cómo, con algunos pocos principios aplicados sobre dichos objetos, la realidad matemática en su totalidad podría ser recreada. Esta segunda promesa no fue cumplida por ninguno de los proyectos de fundamentación. Sin lo segundo, un lenguaje que permita unificar la ontología matemática ayuda a comprender muy poco de lo que hacen los matemáticos en su trabajo cotidiano.

Carlos César Jiménez, tomada de https://gacetacomunidad.cuautitlan.unam.mx/2023/05/a-la-memoria-del-maestro-carlos-cesar-jimenez/

Contar con maneras estandarizadas de describir dos sistemas de trenes (e.g., unidades métricas, tipos de tuercas) no nos dice demasiado acerca de si son interoperables, si las rutas se entroncan o si una de ellas puede acercarnos a la otra. Las preocupaciones de Carlos César, desde la introducción sobre el cuento de Ende, tenían que ver más bien con encontrar una filosofía de las matemáticas que enseñara maneras de moverse:

“Se preguntaba el filósofo austríaco Ludwig Wittgenstein “¿con cuántas calles o casas comienza una ciudad a ser ciudad?” ¿Cuántos barrios la conforman? ¿Se parecen los unos a los otros? ¿Qué tanto? ¿Cómo transitamos de unos a otros? ¿De cuántas maneras podemos hacerlo? ¿Son los senderos labrados por nuestro andar, las callejuelas, calles y avenidas los reflejos de la mítica palabra ausente o son justo presencia de la palabra divina misma?”[8]

Para Lawvere, la fundamentación de las matemáticas consistiría no en buscar un punto de partida, sino en “directrices para pasar de una rama de las matemáticas a otra y para evaluar, hasta cierto punto, qué direcciones de investigación es probable que sean relevantes”[9]. Así, según Carlos César:

“Nos topamos con lo universal —o fundamental— en diversos ámbitos de las matemáticas. Al hacerlo, descubrimos maneras de transitar entre ellos y viceversa; algo similar a lo que sucede cuando se juega con la metáfora wittgensteineana de la ciudad para describir “lenguajes”, no todas las ciudades o barrios son iguales, pero es plausible suponer que nuestro deambular por algunas regiones sirva de pauta para andar por otras.”[10]

Si entiendo bien lo que Carlos César tenía en mente, su idea consistía en seguir la pista de la propuesta de Lawvere, tomando como punto de partida las correspondencias Curry–Howard–Lambek para explorar nuevas maneras en que la teoría homotópica de tipos, fortalecida con otras herramientas matemáticas y computacionales, podría ayudar a encontrar similitudes y maneras comunes de andar en esos caminos que trazan los matemáticos sobre los parajes que exploran.

Más allá de su trabajo en filosofía de las matemáticas, para Carlos César el movimiento era mucho más que una metáfora. Algo que solía llamarme la atención eran sus actividades relacionadas con el yoga y la meditación, quizá porque dados mis prejuicios resultaba inaudito que un filósofo como yo no fuera una rata de escritorio, sino alguien que dedica el mismo tiempo al equilibrio del cuerpo y al control de la respiración, que a leer y discutir textos.

La última vez que compartí una mesa con él fue en Nayarit, en 2017, durante el encuentro anual de la Asociación Mexicana de Lógica. Aquella vez, habló de un área que acababa de descubrir: la cognición corporizada. Pasó diapositivas ilustrando experimentos sobre psicología del aprendizaje, donde se mostraba cómo el uso del cuerpo se encontraba intrínsecamente conectado con el lenguaje y el razonamiento. Terminó con una reflexión sobre cómo las matemáticas, en última instancia, podrían estar fundadas en la corporalidad misma.

En la sección de preguntas, comenté que esto parecía razonable para actividades como contar o agrupar cosas en conjuntos, pero que la abstracción de las matemáticas avanzadas o muy abstractas —como la teoría de números— difícilmente se podría explicar apelando al cuerpo. La pregunta lo emocionó. Aunque no recuerdo los detalles, ofreció algunos ejemplos sobre cómo justamente la teoría de números —vista de manera espacial desde el trabajo de Grothendieck— podía verse como algo ligado al cuerpo y al movimiento, especulando sobre cómo podría abordarse desde la teoría de categorías. Estas ideas quedaron fuera del alcance de su tesis doctoral, pero en su manuscrito se permitió dejarlas a modo de un guiño sugerente:

“Los barrios wittgensteineanos aluden, en plural, a “prácticas lingüísticas” —palabras, acciones y objetos entreverados en contextos particulares— con diversos grados de similitud y conexiones entre sí. Así las cosas, en dicho espacio de alusiones el tránsito entre barrios matemáticos, físicos, musicales, lógicos, poéticos, computacionales, filosóficos, psicológicos, gimnásticos y tantos otros no resulta algo insólito. ¿Podríamos encontrar en esa pluralidad un mapa exhaustivo de dichos tránsitos o tal vez un mapa privilegiado, un mapa-semilla polimórfico, adaptable a nuestros fines con tan sólo tres o cuatro pases mágicos —extended embedded embodied enactive gestures?”

Como uno de los espejos del cuento de Ende, la vida intelectual de Carlos César, en cierto modo, era un reflejo de aquellas correspondencias Curry–Howard–Lambek. Sus pensamientos oscilaban entre tres ámbitos diferentes, conectados de maneras inesperadas por puentes que él mismo iba trazando. Los primeros dos eran las matemáticas y el yoga, pero su tercera pasión eran las lenguas. Fue profesor de inglés en la FES-C, y en aquel tiempo —por su cuenta— se metió de lleno en la lingüística aplicada y en los métodos de enseñanza del idioma (me doy cuenta ahora de que no sabía hacer nada a medias). Aprovechando su formación previa en sistemas digitales, se mantuvo siempre al tanto de los desarrollos informáticos. Ya hablaba de semánticas vectoriales mucho antes de que explotaran los grandes modelos lingüísticos como GPT, y aunque reconocía sus limitaciones, pensaba que tenían cosas interesantes que enseñarnos.

Durante los últimos meses de su enfermedad, a pesar del terrible pronóstico, Carlos César se entregó con esperanza y optimismo a su tratamiento. No quise importunarlo más allá de un saludo ocasional en redes. Esto lo sé por las tres o cuatro veces que llamé por teléfono a uno de sus tutores para preguntar por su salud. No tengo idea de cómo afrontó todo lo que una enfermedad terrible conlleva, pero deseo de todo corazón que haya encontrado momentos de consuelo y fortaleza, y que el cliché socrático del Fedón, de que la filosofía es preparación para la muerte, al menos haya sido verdad para alguien que vivió la filosofía como él.

En la comunidad filosófica lo recordaremos como compañero, estudiante, colega y amigo por lo generoso que fue, pero también como alguien que continuamente nos enseñó con el ejemplo que la vida es algo precioso que debemos abrazar por completo, lo cual a veces parece incompatible con la vida académica. Pensando en esto, el legado de Carlos César Jiménez es filosófico en más de un sentido. Por una parte, nos deja un rastro de ideas imposibles y paradójicas sobre cómo las matemáticas podrían no ser un mundo platónico de pensamientos, sino una serie de pasos y de rutas; de cómo la abstracción podría estar hecha de carne, pero, al mismo tiempo, esa carne no es más que un pensar en movimiento. Por otra parte, su legado más importante quizá venga de su manera de vivir estas ideas y de enseñarnos que también nosotros podemos vivir las nuestras si nos entregamos plenamente, como una buena hoguera.[11]

 

Bibliografía

1. Cheng, Eugenia, The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life, Cambridge, 2022.
2. Frenkel, Edward, Amor y matemáticas: el corazón de la realidad oculta, Ariel, 2016.
3. Hofstadter, Douglas, Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza dorada, Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, 1979.
4. Jiménez, Carlos César, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, borrador inédito.
5. Lawvere, F. William, “Adjointness in Foundations”, 1969, Dialectica 23, 281–96.

Notas

[1] Carlos César Jiménez, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, p. 1, borrador inédito.
[2] Carlos César Jiménez, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, ed. cit., p. 2.
[3] Carlos César Jiménez, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, ed. cit., p. 6.
[4] Edward Frenkel, Amor y matemáticas: el corazón de la realidad oculta, ed. cit.
[5]  Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza dorada, ed. cit.
[6] Eugenia Cheng, The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life, ed. cit.
[7] Carlos César Jiménez, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, ed. cit., p. 50.
[8] Carlos César Jiménez, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, ed. cit., p. 3.
[9] F. William Lawvere, “Adjointness in Foundations”, 1969, Dialectica 23, 281–96 citado en Carlos César Jiménez, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, ed. cit., p. 51.
[10] Carlos César Jiménez, ¿Atuendos nuevos para viejas pretensiones de fundamentación? Consideraciones filosóficas en torno a la Teoría Homotópica de Tipos, ed. cit., p. 50.
[11] Agradezco a Cristina Flores por sus comentarios y retroalimentación a este texto.